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Accueil du site > Séminaires et journées internes > Séminaires de Probabilités-Statistiques > Séminaires PS 2016-2017

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séminaire

    • Mardi 20 septembre 2016 11:30-12:30 - Bertrand Cloez - INRA Montpellier

      Comportement en temps long de processus de Markov avec branchement ou absorption

      Résumé : Après avoir rappelé rapidement quelques manières de montrer la convergence exponentielle d’un processus de Markov (classique) vers sa mesure invariante, nous décrirons comment montrer des comportements analogues pour des processus branchants (ou avec un état absorbant). Ces derniers sont des processus à valeurs mesures (qui décrivent par exemple une population avec des naissances et des morts) dont la moyenne satisfait une équation au dérivés partielles linéaire. Pour passer des processus branchants aux processus classiques, on introduira des formules appelées formule many-to-one, fragments marqué, décomposition en épine dorsal ou encore h-transformé (de Doob) qui permettent de ramener l’étude d’une population à celle d’un individu avec un comportement biaisé.

      Lieu : Bâtiment Fermat, en salle 2102


    • Mardi 27 septembre 2016 11:30-12:30 - Gilles Pagès - Université Pierre et Marie Curie

      Modèles d’urnes randomisées non linéaires : une approche par algorithmes stochastiques

      Résumé : Dans ce travail, nous étendons le lien entre l’approximation stochastique et les modèles d’urnes randomisés développés dans [Laruelle-Pagès, AAP, 2013] et ses applications à des essais cliniques introduits dans une série de papiers par Bai et ses co-auteurs. L’idée ici est que la règle de tirage n’est plus uniforme parmi les boules (de d couleurs possibles) de l’urne, mais peut être renforcée par une fonction f modélisant en quelque sorte l’aversion au risque. Tout d’abord, en considérant que f est concave ou convexe et en reformulant la dynamique de la composition de l’urne comme un algorithme stochastique avec reste, nous établissons la convergence et la normalité asymptotique (théorème central limite, CLT) de la procédure normalisée en faisant appel aux méthodes dites de l’ODE et de l’EDS. Une analyse plus approfondie du cas bi-color (d = 2) et lorsque f est convexe montre la présence d’une forme de transition de phase. Cela conduit notamment à étudier la (non-) convergence vers des zéros répulsifs bruités ou non du système champ moyen sous-jacent (les ``pièges » en théorie de l’approximation stochastique). Enfin, ces résultats sont appliqués à une allocation d’actifs optimale en Finance par principe de renforcement.

      Lieu : Bâtiment Fermat, en salle 2102


    • Mardi 11 octobre 2016 11:30-12:30 - Benjamin Groux - LMV

      Comportement en temps long dans l’équation de Fokker-Planck libre avec un potentiel non convexe.

      Résumé : On considère l’équation de Fokker-Planck libre \frac{\partial \mu_t}{\partial t} = \frac{\partial}{\partial x} \left[ \mu_t \left( \frac12 V' - H\mu_t \right) \right], o\`u H d\’esigne la transform\’ee de Hilbert et V un potentiel confinant. Dans le cas o\`u ce potentiel est convexe, il est connu que cette EDP avec singularit\’e admet une unique solution (\mu_t) convergeant quand t \to \infty vers la mesure d’équilibre associée au potentiel V. On s’intéresse ici au comportement asymptotique de la solution dans le cas d’un potentiel non convexe, plus précisément V(x) = \frac14 x^4 + \frac{c}{2} x^2 avec c<0. Le résultat obtenu fait notamment intervenir des techniques de probabilités libres.
      Ce travail a étée effectué en collaboration avec Catherine Donati-Martin et Mylène Maïda.

      Lieu : bâtiment Fermat, en salle 2102


    • Mardi 8 novembre 2016 11:30-12:30 - Marion Sciauveau - CERMICS, Ponts et Chaussées

      Fonctionnelles de coût sur des arbres aléatoires

      Résumé : Les arbres apparaissent naturellement dans de nombreux domaines tels que l’ informatique pour le stockage de données ou encore la biologie pour classer des espèces dans des arbres phylogénétiques. Dans cet exposé, nous nous intéresserons aux limites de fonctionnelles additives de grands arbres aléatoires. Nous étudierons les cas des arbres binaires sous le modèle de Catalan (arbres aléatoires choisis uniformément parmi les arbres binaires enracinés complets ordonnés avec un nombre de nœud donné) et les arbres simplement générés. On obtiendra un principe d’invariance pour ces fonctionnelles ainsi que les fluctuations associées. Dans le cas binaire, la preuve repose sur le lien entre les arbres binaires et l’excursion brownienne normalisée (voir Aldous [1]). Cela nous permettra de retrouver les résultats avancés par Fill et Kapur [2] et Fill et Janson [3].
      Références : [1] : D. Aldous. The continuum random tree. III. (1993) [2] : J.A. Fill and N.Kapur. Limiting distributions for additive functionals on Catalan trees (2004) [3] : J.A. Fill and S. Janson. Precise logarithmics for the right tails of some limit random variables for random trees (2009)

      Lieu : Batiment Fermat, en salle 2102


    • Mardi 22 novembre 2016 11:30-12:30 - Elodie Vernet - Université Paris Sud - Paris Saclay

      Comportement asymptotique de la loi a posteriori dans les modèles non paramétriques de Markov cachés

      Résumé : Une chaîne de Markov cachée est un processus stochastique discret (X_t,Y_t) où la suite (X_t) est une chaîne de Markov que l’on n’observe pas, et la suite (Y_t) est une version bruitée de (X_t) que l’on observe. Plus précisément, sachant les états cachés X_t, les observations Y_t sont indépendantes avec Y_t ne dépendant que de X_t. Les modèles de Markov cachés (HMMs) sont très utilisés en pratique, comme en génomique, reconnaissance de parole, économétrie... Un intérêt récent pour les modèles de Markov cachés non paramétriques est apparu dans les applications car la modélisation paramétrique des lois d’émission (c’est-à-dire les lois de Y_t sachant X_t=1,2,\ldots) peut conduire à de mauvaises estimations. Or les modèles de Markov cachés non paramétriques ont peu été étudiés en théorie. Lors de cet exposé, je m’intéresserai à ces modèles dans le cas où l’ensemble des états cachés sera de cardinal fini et connu. Les lois d’émission ne seront pas contraintes d’appartenir à un espace de dimension finie. Je m’attacherai à présenter des garanties théoriques sur le comportement de la loi a posteriori dans ces modèles. En particulier, je présenterai des résultats asymptotiques sur ce comportement. Je donnerai des hypothèses garantissant la consistance de la loi a posteriori ainsi que l’obtention de vitesses de concentration. J’exhiberai également des lois a priori vérifiant ces dernières hypothèses.

      Lieu : Batiment Fermat, en salle 2102


    • Mardi 29 novembre 2016 11:30-12:30 - Eva Löcherbach - Université de Cergy-Pontoise

      Estimation du graphe d’interactions pour des systèmes de neurones en interactions.

      Résumé : Nous considérons des réseaux de neurones dont l’évolution est décrite par des systèmes de chaînes de mémoire variable en interactions. Chaque chaîne décrit l’activité d’un seule neurone (à savoir, la présence ou absence d’une décharge électrique/spike à un temps donné). La probabilité qu’un neurone ait une décharge dépend de l’évolution de ses neurones pré-synaptiques depuis son dernier temps de spike. Lors d’une décharge, le potentiel de membrane du neurone retombe à une valeur d’équilibre (= 0). En même temps, tous les neurones post-synaptiques reçoivent une charge additionnelle qui est rajoutée à leur potentiel de membrane. La relation entre un neurone et ses neurones pré- et post- synaptiques définit un graphe orienté que nous appelons "graphe d’interactions" du modèle. Nous construisons un estimateur de ce graphe et prouvons la consistence de cet estimateur lorsque le temps d’observation ainsi que la taille de la fenêtre d’observation tendent vers l’infini. Travail en collaboration avec Aline Duarte, Antonio Galves et Guilherme Ost.
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      Estimating the interaction graph of stochastic neural dynamics We address the question of statistical model selection for a class of stochastic models of biological neural nets. Models in this class are systems of interacting chains with memory of variable length. Each chain describes the activity of a neuron, indicating whether it has a spike or not at a given time. For each neuron, the probability of having a spike depends on the entire time evolution of its \it presynaptic neurons since the last spike time of the neuron. When the neuron spikes, its potential is reset to a resting level, and all of its postsynaptic neurons receive an additional amount of potential. The relationship between a neuron and its pre- and postsynaptic neurons defines an oriented graph, the interaction graph of the model. We show how to estimate this graph of interactions, based on an observation of the process up to time $n, $ within a growing sequence of observation windows. We prove the consistency of this estimator and obtain explicit error bounds for the probability of wrong estimation of the graph of interactions. Joint work with Aline Duarte, Antonio Galves and Guilherme Ost.

      Lieu : Batiment Fermat, en salle 2102


    • Mardi 6 décembre 2016 11:30-12:30 - Fanny Augeri - Institut Mathématique de Toulouse

      Grandes déviations des traces de matrices aléatoires.

      Résumé : L’étude des traces de matrices aléatoires est maintenant un outil classique pour comprendre le comportement asymptotique du spectre. Depuis la preuve originale du théorème de Wigner par la méthode des moments, jusqu’aux résultats d’universalité au bord du spectre de matrices de Wigner ou de covariance empirique, la "méthode des traces" s’est révélée très efficace dans l’étude macroscopique aussi bien que microscopique du spectre de matrices aléatoires.

      En partant du théorème de Wigner, qui donne la convergence des traces normalisées vers les nombres de Catalan, on s’intéressera au grandes déviations des traces autour de leurs limites respectives. Comme l’application qui à une mesure de probabilité associe sont p ème moment n’est pas continue pour la topologie faible, il n’est pas possible de contracter les principes de grandes déviations connus pour la mesure spectrale, comme dans le cas des ensembles Gaussiens classiques (Ben-Arous - Guionnet, 1997), ou des matrices de Wigner sans queues Gaussiennes (Bordenave-Caputo, 2014). Le problème des grandes déviations des traces implique de chercher d’autres stratégies que l’on exposera dans le cas de trois modèles : celui des matrices de Wigner à entrées Gaussiennes, celui des beta-ensembles à potentiel convexe et croissance polynomiale et le cas des matrices de Wigner sans queues Gaussiennes.

      Lieu : Batiment Fermat, en salle 2102


    • Mardi 3 janvier 11:30-12:30 - Alexis Devulder - LMV, UVSQ

      Collisions de plusieurs marches aléatoires récurrentes dans des milieux aléatoires

      Résumé : Nous considérons d marches aléatoires indépendantes sur Z, m d’entre elles étant des marches aléatoires simples symétriques, et les r= d-m autres étant des marches de Sinai, dans I environnements indépendants. Nous montrons que le produit est récurrent, presque sûrement, si et seulement si m\leq 1 ou m=d=2. Dans le cas transient avec r\geq 1, nous prouvons que les marches se rencontrent simultanément infiniment souvent (c’est à dire font une "collision"), presque sûrement, si et seulement si m=2 et r \geq I= 1. En particulier, alors que I n’a pas d’influence pour la récurrence ou la transience, I joue un rôle pour la probabilité d’avoir une infinité de collisions. Il s’agit d’un travail en commun avec Nina Gantert et Françoise Pène.

      Lieu : Batiment Fermat, salle 2102


    • Mardi 10 janvier 11:30-12:30 - Florent Malrieu - Université de Tours (LMPT)

      Comportement en temps long de processus de Markov déterministes par morceaux

      Résumé : Les processus de Markov déterministes par morceaux (PDMPs) sont des processus aléatoires qui, entre deux sauts (aléatoires), évoluent de façon déterministe. Nous illustrerons quelques propriétés parfois surprenantes de ces processus sur un exemple issu de la modélisation de dynamique des populations, et présenterons quelques techniques permettant l’étude de leur comportement en temps long.

      Lieu : Batiment Fermat, en salle 2102


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Mots-clés

Probabilités Statistiques