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Résumés des conférences

Ce colloque propose des exposés mathématiques en français, dont la plupart sont accessibles à un large public, et notamment aux étudiants.

  • Aline BONAMI (Université d’Orléans) : Autour du principe d’incertitude.
Le principe d’incertitude de Heisenberg est un principe fondamental de la mécanique quantique : on ne peut connaître simultanément la position et la vitesse d’une particule quantique. Il y a un principe analogue en traitement du signal : un signal (par exemple sonore) ne peut être localisé à la fois en temps et en fréquence. Ces deux principes physiques découlent en fait du même type de propriétés mathématiques : une fonction et sa transformée de Fourier ne peuvent être localisées simultanément. Encore faut-il préciser ce qu’on entend par là pour arriver à un énoncé mathématique. Depuis 1927, date à laquelle Heisenberg a énoncé son fameux principe, de nombreux mathématiciens ont proposé, et proposent toujours, divers énoncés qu’on peut voir comme autant de facettes du principe d’incertitude. Le but de l’exposé est d’en présenter certains, en donnant une idée de la diversité des techniques mathématiques utilisées et des applications possibles.
  • Vincent COSSART (Université de Versailles – Saint Quentin en Yvelines) : La tumultueuse histoire de la désingularisation.
Le problème de la désingularisation est ancien. On peut le faire remonter à Isaac Newton et à son fameux polygone, à Victor Puiseux avec ses développements de Newton–Puiseux ou à Bernhard Riemann qui, pour définir les surfaces de Riemann, eut besoin de désingulariser les courbes. Ce problème est toujours ouvert dans le cas de la caractéristique positive ou de la caractéristique mixte : plusieurs équipes y travaillent actuellement. Comme tous les problèmes difficiles, il est passé de mains en mains, de pays en pays, faisant des allers et retours d’un continent à l’autre, s’assoupissant puis se réveillant sous l’impulsion de nouvelles idées. Nous allons faire une promenade mathématico-historique du XVIIIe au XXIe siècle. On posera le problème à l’aide de dessins. Tout en racontant les percées, les espoirs, les effondrements, les polémiques (en particulier la fameuse colère de Oscar Zariski), on essaiera de faire comprendre les idées, les angles d’attaque proposés. On insistera sur :
- le programme de Oscar Zariski repris par Shreeram S. Abhyankar et d’autres ;
- la voie calculatoire de Heisuke Hironaka. S’il reste du temps on fera un état de l’art.
  • Daniel FERRAND (ancien professeur à l’Université de Rennes 1) : Incarner les classes de H^3(X,{\bf G}_{m}).
J’expliquerai d’abord ce qu’apporte la considération des modules inversibles pour comprendre le groupe H^1(X,{\bf G}_{m}), ainsi que l’utilisation des algèbres d’Azumaya pour H^2(X,{\bf G}_{m}). Quelques mots ensuite sur les isomorphismes d’associativité dans les Gr-catégories puisqu’ils réalisent les ‑cocycles. Enfin, on associera un objet géométrique, sur X, à une telle Gr-catégorie lorsque ses deux invariants sont le groupe fondamental de X et {{\bf G}_{m}}_{X}. Il s’agit d’un travail en cours.
  • Robin HARTSHORNE (University of California, Berkeley) : Les origines de l’algèbre.
En choissisant des exemples tirés de la mathématique ancienne de Babylone, la Chine, la Grèce, l’Islam et l’Europe, j’essaierai de tracer les origines de l’algèbre symbolique tel que nous la connaissons aujourd’hui.
  • Gilles LACHAUD (CNRS) : Les quartiques ternaires.
Les courbes algébriques non singulières de degré 4 sont étudiées depuis le XVIIe siècle au moins. Ce sont leurs automorphismes qui permettent d’en donner une description et une classification. Dans certains cas, les Jacobiennes de ces courbes peuvent être déterminées explicitement. Lorsqu’on se place sur un corps fini, ces variétés définissent des groupes cycliques utilisables en théorie de l’information.
  • Monique LEJEUNE-JALABERT (Université de Versailles – Saint Quentin en Yvelines) : Singularités et développement en séries.
Je présenterai quelques extraits de textes concernant l’étude des singularités des variétés algébriques ou apparaissent des séries, de Isaac Newton à nos jours.
  • Ariane MÉZARD (Université de Versailles – Saint Quentin en Yvelines) : Modèles de \mathbf{ \mu_{p^m}} en inégale caractéristique.
Soit K un corps p-adique d’anneau des entiers O_K. Nous cherchons à déterminer les modèles sur O_K du schéma en groupes \mathbf{ \mu_{p^m,K}} . Pour cela nous rapprochons deux méthodes : la classification due à Breuil et Kisin et la généralisation de la suite exacte de Kummer due a Sekiguchi et Suwa. Il s’agit d’un travail en cours en collaboration avec Matthieu Romagny et Dajano Tossici.
  • Daniel PERRIN (Université Paris-Sud) : Le grand théorème de Poncelet.
On a deux coniques C et C' (penser à deux ellipses, avec C' intérieure à C), on part d’un point de C, on mène une tangente à C', elle recoupe C en un autre point et l’on recommence. La question est de savoir si la ligne obtenue se referme, et en combien de coups. On partira du cas le plus simple (celui des cercles inscrit et circonscrit à un triangle). On verra que le problème est lié à l’existence d’une loi de groupe sur une cubique plane. L’exposé sera illustré par de nombreuses figures.
  • Christian PESKINE (Université Paris 6) : Le lemme des k-sécantes.
Résumé en anglais
PDF - 91.8 ko
  • Ragni PIENE (Universitetet i Oslo) : Classification des polytopes entiers par fibrations toriques.
Un polytope entier P est un polytope dans \mathbb{R}^n avec sommets dans \mathbb{Z}^n. Un tel polytope peut ou non contenir des points entiers intérieurs. Sinon, son double 2P, ou triple 3P, ou... peut en contenir ; on appelle le codegré de P le plus petit entier m tel que mP contient des points entiers intérieurs. Le but est de classifier les polytopes tels que m soit grand par rapport à n, ce qu’on achève par des méthodes de variétés dites toriques associées aux polytopes.
  • Marie-Françoise ROY (Université de Rennes 1) : 17è problème de Hilbert effectif.
Emil Artin a démontré en 1927 que tout polynôme positif est somme de carrés de fractions rationnelles, mais n’a donné aucune méthode effective pour fabriquer cette somme de carrés, car sa preuve reposait sur le lemme de Zorn. Depuis, quelques progrès ont été accomplis mais on est encore très loin d’avoir des méthodes efficaces. Et pourtant représenter des polynômes positifs comme somme de carrés serait très utile en pratique, notamment pour l’optimisation.
  • Lucien S. SZPIRO (City University of New York) : Dynamique algébrique.
Nous présenterons principalement des exemples d’applications de l’espace projectif de dimension dans lui-même pour illustrer les notions fondamentales de la dynamique : points périodiques et prépériodiques, résultants, hauteurs canoniques, bonne réduction, isotrivialité.

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